一(yī)般(bān)来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值(zhí)域是C，若找(zhǎo)得到一个函数g(y)在每一处(chù)g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫(jiào)做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作(zuò)y=f-1(x) 。

　　反(fǎn)函(hán)数y=f-1(x)的定义(yì)域、值域分(fēn)别是(shì)函(hán)数y=f(x)的值域、定义(yì)域。

　　最具有代表性的反(fǎn)函数就(jiù)是对数函数(shù)与指数函数。

　　函数f(x)与它的反函(hán)数f-1(x)图象关于直(zhí)线y=x对称；

　　函数及其反函数的图(tú)形关(guān)于直(zhí)线y=x对称(chēng)；

　　函(hán)数存在反函(hán)数的充要条件(jiàn)是，函数的(de)定义(yì)域与值(zhí)域(yù)是(shì)一一映(yìng)射等。

　　反函数(shù)性质：函数f(x)与它的反函数f-1(x)图象关于直线(xiàn)y=x对(duì)称；

　　函数及其反函(hán)数(shù)的图(tú)形关于直线y=x对称；

　　函数存在反函数的充要(yào)条件是，函数的定(dìng)义域与值域(yù)是一(yī)一映射的。

　　1、反函数的(de)定义域是(shì)原函(hán)数的(de)值域，反(fǎn)函数的(de)值(zhí)域是原(yuán)函数的(de)定义域。

　　2、互为反函数(shù)的两(liǎng)个函数的图(tú)像关于直(zhí)线y=x对称(chēng)。

　　3、原函数若(ruò)是奇(qí)函数，则其反函数为奇函数。

　　4、若函(hán)数是单(dān)调函数，则一定有(yǒu)反函数(shù)，且反(fǎn)函数的单调(diào)性与原函数的一致。

　　5、原函数与反函数的图像若有交点(diǎn)，则交点一(yī)定在直(zhí)线y=x上或关于直线y=x对称出现。

反函(hán)数有哪(nǎ)些性(xìng)质

　　性质：

　　（1）函数f(x)与它的反(fǎn)函数(shù)f-1(x)图象关于(yú)直(zhí)线y=x对称；

　　（2）函数(shù)存在反函数(shù)的充要条件是，函数的定义(yì)域(yù)与(yǔ)值域是一一映射；

　　（3）一个函数与它的反函数(shù)在相(xiāng)应区间上单(dān)调性一致；

　　（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)， 定义域是(shì){0} 且(qiě) f(x)=C （其(qí)中(zhōng)C是常数），则函数f(x)是偶(ǒu)函(hán)数(shù)且有反(fǎn)函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）。

　　奇函数不一定存在反(fǎn)函数，被(bèi)与y轴(zhóu)垂直的直(zhí)线截(jié)时能(néng)过2个及以上点即没有反函数(shù)。

　　腔神若一个奇函数存(cún)在(zài)反函数，则它的反函数也是奇森圆(yuán)穗函数。

　　（5）一段(duàn)连(lián)续(xù)的函数的单调性(xìng)在对应区间内具有一致性；

　　（6）严增（减）的函数一定有(yǒu)严格增（减）的反函数；

　　（7）反函数是相(xiāng)互的且(qiě)具有唯一(yī)性(xìng)；

　　（8）定义域(yù)、值(zhí)域相反(fǎn)对应法则互逆(nì)（三反(fǎn)）；

　　（9）反函数(shù)的导数关系：如果x=f(y)在开区间I上严格单调，可导，且f(y)≠0，那么它(tā)的反函数y=f-1(x)在区间S={x|x=f(y),y∈I }内(nèi)也可导，且：

　　（10）y=x的反函数是(shì)它本(běn)身。

　　扩此卜展资料(liào)：

　　反(fǎn)函数定义(yì)：

　　设函数(shù)y=f(x)的(de)定义域是D，值域是f(D)。

　　如果对于值域f(D)中的每(měi)一个y，在D中(zhōng)有且(qiě)只有(yǒu)一个x使得f(x)=y，则按此对应法(fǎ)则得到了一(yī)个定(dìng)义在f(D)上的函数。

　　并把该函(hán)数称(chēng)为函(hán)数y=f(x)的反(fǎn)函数，记为由该定(dìng)义(yì)可以很快得出函数f的(de)定(dìng)义(yì)域D和值(zhí)域f(D)恰好就是反(fǎn)函数(shù)f-1的值域(yù)和定(dìng)义域(yù)，并且(qiě)f-1的反(fǎn)函数就是f，也(yě)就是说，函数f和f-1互为反(fǎn)函数，即：

　　反(fǎn)函(hán)数与(yǔ)原(yuán)函数的复(fù)合函数等于x，即：

　　习惯上我们用x来表示(shì)自(zì)变(biàn)量，用y来表示因变量，于是函数(shù)y=f(x)的反(fǎn)函数通(tōng)常写成

　　 。

　　例如，函(hán)数  

　　的(de)反函数是  。

　　相对于反函数y=f-1(x)来说，原来的函数y=f(x)称为直接(jiē)函数。

　　反函数(shù)和直接函(hán)数的图像关于直线y=x对称。

　　这是因为，如果设(a,b)是y=f(x)的图像上(shàng)任意一点(diǎn)，即(jí)b=f(a)。

　　根(gēn)据反函数的(de)定义，有(yǒu)a=f-1(b)，即点(b,a)在反函数y=f-1(x)的图像上。

　　而点(a,b)和(hé)(b,a)关于直线y=x对(duì)称，由(a,b)的任意性可知f和f-1关于y=x对称。

　　于是我们可(kě)以知道(dào)，如(rú)果(guǒ)两个函数的(de)图像(xiàng)关于(yú)y=x对(duì)称，那么这两个(gè)函数互为(wèi)反函数。

　　这(zhè)也可以看(kàn)做(zuò)是(shì)反(fǎn)函数的一(yī)个几何定(dìng)义。

　　在微积分里，f (n)(x)是用来指f的n次微分的。

　　若一(yī)函(hán)数有(yǒu)反函数(shù)，此函数便称为可逆的(de)（invertible）。

　　参考资料：百(bǎi)度百(bǎi)科(kē)---反(fǎn)函数

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