奇函数在其对称区间(jiān)[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调(diào)性，即已知是奇(qí)函(hán)数(shù)，它(tā)在区间[a,b]上是增(zēng)函数（减(jiǎn)函(hán)数），则在区间[-b，-a]上(shàng)也(yě)是(shì)增函数（减函数）；

　　偶函数在其(qí)对(duì)称区间[a,b]和[-b，-a]上具(jù)有相反(fǎn)的单调性，即(jí)已知是(shì)偶函(hán)数且在区间(jiān)[a,b]上(shàng)是增(zēng)函数(shù)（减(jiǎn)函数），则在(zài)区间[-b，-a]上是减函数（增函(hán)数）。

　　但由单(dān)调性不能(néng)代(dài)表(biǎo)其(qí)奇(qí)偶性。

　　验证(zhèng)奇偶(ǒu)性的前(qián)提要求函数的定(dìng)义域必须关于原(yuán)点对称。

　　（1）定义法

　　用定(dìng)义来判断函数奇偶性，是主要方法。

　　首(shǒu)先求出函数的定义域，观察验证是否(fǒu)关于原点对称。

　　其次化简函数式，然后计算f(-x)，最后(hòu)根据f(-x)与f(x)之间的关(guān)系，确定f(x)的(de)奇偶性。

　　（2）用必要条件

　　具有(yǒu)奇(qí)偶(ǒu)性函数的定(dìng)义域必(bì)关于原点对称，这是(shì)函数具有奇(qí)偶性的必要(yào)条件。

　　例如，函数y=的定(dìng)义域(-∞，1)∪(1，+∞)，定(dìng)义域关于原点不(bù)对称，所以(yǐ)这个函(hán)数(shù)不具有奇偶性。

　　（3）用对称(chēng)性

　　若f(x)的图(tú)象关(guān)于(yú)原(yuán)点对称，则f(x)是奇函数(shù)。

　　若f(x)的图象(xiàng)关于(yú)y轴对称(chēng)，则f(x)是偶函数。

　　（4）用函数运算

　　如果f(x)、g(x)是(shì)定义在D上(shàng)的(de)奇函数，那么在D上，f(x)+g(x)是奇函(hán)数(shù)，f(x)?g(x)是偶函(hán)数。

　　简单地，“奇+奇=奇(qí)，奇×奇(qí)=偶”。

　　类似地，“偶±偶(ǒu)=偶，偶×偶=偶(ǒu)，奇×偶=奇”。

　　偶函数±偶函(hán)数=偶函(hán)数

　　奇函数×奇函数=偶函(hán)数(shù)

　　偶函数×偶函数=偶(ǒu)函数(shù)

　　奇函数×偶函(hán)数=奇函数

　　上述奇偶函数乘法规律可(kě)总结为：同偶异奇，内奇同外

函数奇(qí)偶(ǒu)性加减乘(chéng)除判定口诀是什(shén)么？

　　函数奇偶性加(jiā)减(jiǎn)乘除判定口诀是：内偶(ǒu)则(zé)偶，内奇同(tóng)外。

　　验(yàn)证奇偶性(xìng)的前(qián)提：要求函数的定义域必须(xū)关于(yú)原点(diǎn)对称(chēng)。

　　偶函(hán)数(shù)±偶函数＝偶函数

　　奇(qí)函数×奇函数＝偶函数(shù)

　　偶函数×偶函(hán)数＝偶函数(shù)

　　奇函数(shù)×偶(ǒu)函数＝奇函数

　　上(shàng)述奇偶函(hán)数(shù)乘盯贺(hè)银法规律(lǜ)可总(zǒng)结为：同偶异(yì)奇，内(nèi)奇同外。

　　奇函数在(zài)其对称区(qū)间［a,b]和［-b，－a]上具有相同的单(dān)调性，即已拍族知是奇(qí)函数，它(tā)在区(qū)间［a,b]上是增函数（减函数），则在区间［-b，－a]上(shàng)也是增(zēng)函数（减(jiǎn)函数）。

　　偶函数在其(qí)对称区间(jiān)［a,b]和［-b，－a]上(shàng)具有相反的单调性，即已知是偶函(hán)数且(qiě)在(zài)区(qū)间［a,b]上(shàng)是增函数（减函数），则(zé)在(zài)区(qū)间(jiān)［-b，－a]上是(shì)减函数（增函数）。

　　但由单调性不能代表其奇偶(ǒu)性。

　　验证奇偶性的前提要求函数的定(dìng)义域必(bì)须关于凯宴(yàn)原点对(duì)称(chēng)。

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